G. Fano

 

SUI POSTULATI FONDAMENTALI

 

DELLA

 

GEOMETRIA PROIETTIVA

 

in uno spazio lineare a un numero qualunque di dimensioni­

 

 

 

NOTA

 

DI

 

GINO FANO

 

<<Giornale di Matematiche pub. per cura del prof. G. Battaglini>>, vol. XXX. (1892), pagg. 106-132

 

 

 

 

 

 

La geometria di uno spazio a più dimensioni, che già da parecchio tempo ha preso posto fra i rami della matematica, è stata, com'è noto, uno degli argomenti di studio e di ricerca che hanno esercitato maggiori attrattive, specialmente in Italia, da alcuni anni a questa parte. Per quanto però essa abbia dato luogo a varie ricerche, e in queste si siano anche raggiunti numerosi ed importanti ri­sultati, tuttavia fino a questi ultimi giorni (che io sappia almeno) non è stata data una vera e propria definizione di una varietà lineare o, brevemente, di uno spazio a un numero qualunque r di dimensioni (nel senso più generale di quest'espres­sione[1]). Di queste varietà lineari si adducono soltanto degli esempi, asserendo che sono tali le involuzioni di punti sopra una retta, i sistemi lineari di curve piane e di superfcie, o, più generalmente; di connessi qualunque, ecc. quando vi si con­sideri come elemento rispett. il gruppo di punti, la curva, la superficie, il con­nesso. Volendo poi fare qualche ricerca nella quale, appunto per avere una maggior generalità, occorre o almeno è preferibile lasciar del tutto indeterminata la natura dell'elemento stesso, tutti gli autori (salvo errore) sono d'accordo nell'assumere come punto dì partenza la rappresentabilità degli elementi (punti) di un iperspazio mediante coordinate[2] .

Il Chiar. Prof. C. Segre in un corso di lezioni di Geometria sopra un ente algebrico dettate nello scorso anno accademico 1890-91[3], dopo aver ac­cennato alle cose fondamentali relative alla geometria in uno spazio a un numero qualunque di dimensioni, proponeva appunto ai suoi studenti (fra i quali ho l'onore di annoverarmi) la questione seguente:

«Definire lo spazio Sr non già mediante coordinate, una con una serie dì proprietà dalle quali la rappresentazione con coordinate si possa dedurre come conseguenza... ».

E poco dopo, nella Nota cit. Su alcuni indirizzi nelle investigazioni geo-metriche, egli nuovamente osservava che «Non è ancora stato assegnato e di­ scusso un sistema di postulati indipendenti che serva a caratterizzare lo spazio r. lineare a n dimensioni , sì che se ne possa dedurre la rappresentazione dei a punti di questo con coordinate[4]».

Fu appunto nella ricerca di questo sistema di postulati ch'io giunsi ad alcuni risultati, una parte dei quali mi preparo ora ad esporre[5].

Mi è caro poi rinnovare in quest'occasione allo stesso Prof. Segre e al Dott. Guido C a s t e 1 n u o vo i più vivi ringraziamenti per i consigli di cui mi furono larghi nella compilazione di questa Nota.

 1. A base del nostro studio noi mettiamo una varietà qualsiasi di enti di qualunque natura; enti che chiameremo, per brevità, punti indipendentemente però, ben inteso, dalla loro stessa natura[6].

La proprietà prima di questi enti è data dal postulato seguente che corrisponde al 2° del sig. Amodeo):

Post. I. Due punti qualunque determinano, e sempre in modo unico, un ente che chiamo retta (S1).

Questo ente noi intendiamo che sia un sistema di punti , del quale fanno parte quei primi due che (per il postulato stesso) lo determinano in modo unico.

 

Diremo che la retta contiene tutti questi punti[7]. Per due punti (distinti) passa sempre una retta ed una sola. Se questa, oltre a quei due punti, ne con­tiene degli altri, sarà pure individuata da due qualunque di essi.

Questa essendo, come ho detto, la proprietà prima, fondamentale, che noi attribuiamo agli enti della nostra varietà, non è il caso di cercare di dimostrarla o di provare che non è dimostrabile.

 

2. Definisco come piano (S2) l'insieme di tutti i punti contenuti nelle rette che congiungono i singoli punii di una retta data con un punto fisso ed asse­gnato ad arbitrio, purchè fuori dalla retta stessa (ovvero, come anche diremo, proiettano i punti di quella retta -o, brevemente, la retta- da questo punto fisso). Stabilisco in seguito le proprietà fondamentali del piano mediante due nuovi postulati

 

Post. II. La retta determinala da due punti qualunque di un piano giace tutta in questo.

Post. III. Due rette giacenti in uno stesso piano hanno sempre un punto a comune [8].

Dell'uno e dell'altro di questi postulati si dimostra anche assai facilmente la necessità. Considerando infatti ad es. l'insieme dei punti di un piano (nel senso ordinario) che sono interni ad una data linea chiusa, convessa qualsiasi, e chiamando retta ogni corda di questa linea , si ha una varietà di punti entro in. quale si può costruire un piano conforme. alla data definizione, ma che tuttavia non contiene sempre tutta la retta individuata da due suoi punii. Se poi quella certa linea è precisamente il perimetro di un triangolo, - e fra i punti della no­stra varietà si intendono inclusi anche quelli del perimetro stesso-, per il piano ottenuto proiettando un lato qualunque del triangolo dal vertice ad esso opposto sarà verificato altresì il post. II, ma non il III[9].

Dai postulati ammessi segue tosto che la prima retta e il punto ad essa esterno con cui abbiamo generato il piano non sono elementi particolari di questo[10]. Un piano è quindi individuato da tre suoi punti non collineari, ovvero anche da dite rette che si incontrano, ecc. ecc.

 

3. Stabilite per tal modo le principali proprietà del piano, possiamo definire i successivi spazi S3, S4, ... , Sr-1, Sr,  ciascuno, dirò così, come proiezione del precedente da un punto esterno ad esso[11], dimostrando altresì, in generale, che un Sr è individuato da r+1 suoi punti qualunque, purché indipendenti (ovvero anche da alcuni fra questi e dallo spazio determinato dai rimanenti); poi le diverse proposizioni relative alle intersezioni di spazi, ecc. ecc.; il tutto senza che occorra alcun nuovo postulato. Questa parte essendo stata scolta ampiamente dal sig. Amodeo (op. cit. ni. 5-11), non ho più bisogno di insistervi sopra. Ricorderò solamente che le cose dette (o almeno accennate) finora bastano per stabilire in modo chiaro e preciso il concetto di protezione e sezione (loc. ci­t. 12) e per introdurre anche il principio di dualità in Sr.

Quanto poi al numero r, che finora poteva per noi essere qualunque purché, naturalmente, intero e >0), ci converrà, da questo momento in poi, supporlo altresì >3 [12]. Ciò è necessario quando (come già nel n° seg.) si accenni al teorema di Desargues sui triangoli omologici.

4.[13] Il post. I ci permette di asserire che unti retta contiene sempre al­meno due punti[14] . Noi abbiamo però degli esempi, e molti, di rette (nel senso più generale di questa parola) contenenti più di due, e anche infiniti punti. È ciò una conseguenza necessaria dei postulati precedenti?

La risposta è facile e negativa. Se noi conveniamo di chiamare S, un gruppo qualsiasi di r+1 punti, epperò per Sk entro questo Sr, (k<r) intendiamo l'insieme di k+1 punti fra quegli r+1, è chiaro che per un tale sistema di spazi sussi­steranno tutte le proprietà ammesse o dimostrate finora, por contenendo ogni retta due soli punti. Volendo quindi escludere questo caso, siamo autorizzati ad am­mettere il seguente

 

 Post. IV. Ogni retta contiene più di due punti[15] .

 

Anche per ogni punto passeranno quindi sempre, in un piano, più di due rette[16] .

Possiamo ora definire il triangolo, il quadrangolo, e in generale gli n-goni, n-lateri, n-edri, n-spazi (limitatamente, s'intende, all'esistenza di un numero sufficiente di elementi), e dimostrare poi il teorema di Desargues sui triangoli omo­logici, gli analoghi pei quadrangoli piani e sghembi (tetraedri), nonchè parecchie e facilissime loro generalizza- zioni[17]; il tutto anche in modo assai semplice[18] .

5. Possiamo ora definire il gruppo armonico di elementi in una forma sem­plice fondamentale (punteggiata o fascio).

Dati su di una retta tre punti A, B, C, (e tanti almeno sappiamo che ne esi­stono), costruisco un quadrangolo piano completo E F G H, del quale due lati op­posti EF e GH passino per A; altri due, pure opposti, per B, e siano EG e FH; e il lato EH passi per C. Il sesto lato FG incontrerà la retta A B C in un punto D unico e ben determinato, come risulta subito da noti teoremi di geometria pro­iettava, che continuano a valere anche in questo caso più generale.

Chiamo gruppo armonico di punti la quaderna A B C D; il punto D si dirà anche quarto armonico dopo i tre punti A, B, C, oppure coniugato armonico di C rispetto alla coppia AB[19] .

Quattro punti A, B, C, D di una retta r formanti un gruppo armonico sono proiettati da ogni Sk-1 non incidente ad r secondo quattro Sk di un fascio, e che diremo pure formare un gruppo armonico. Ogni retta contenuta nell' Sk+1 di questo fascio, ma non incidente al suo Sk-1 asse, sega i quattro Sk in punti di un gruppo armonico[20] .

I gruppi armonici si conservano dunque in qualsiasi protezione o sezione.

Se A B C D è un gruppo armonico, saranno pure armoniche le tre quaderne BACD , ABDC , BADC.

6. Due gruppi armonici qualunque possono sempre ottenersi l’uno dall'altro mediante un numero finito di proiezioni e sezioni.

Basta dimostrarlo per due gruppi di punti ABCD e A'B'C'D'. Applico una delle solite costruzioni usate in geometria proiettiva per passare mediante proiezioni e sezioni, dalla terna A B C alla A' B' C'. La stessa costruzione, applicata al punto D, condurrà a determinare sulla retta A'B'C' un punto D' tale che il gruppo A'B'C'D' sia armonico. Sarà dunque necessariamente D' ≡D, come si vo­leva dimostrare.

  Se i singoli lati del quadrangolo E F G H si sono presi (come implicita- mente abbiamo supposto) tutti distinti fra loro e dalla retta ABC, è chiaro che il punto D, intersezione di quest'ultima retta colla FG, non potrà coincidere nè con A nè con B. Ma potrà coincidere con C? A questo risponderemo fra poco; possiamo però asserire fin d'ora che, se quella coincidenza ha luogo una volta, dovrà aver luogo sempre, e inversamente: ciò è conseguenza immediata del teorema ultimo e del fatto che un'operazione proiettiva qualsiasi è sempre univoca.

Se esistono dunque in urta forma fondamentale semplice tre clementi distinti a tali che il coniugato armonico di uno di essi rispetto agli altri dite sia un quarto elemento detta forma distinto dai precedenti, altrettanto avrà luogo per ogni altra terna.

Se invece una (sol) volta quel quarto elemento coincide con uno dei primi tre (e non può coincidere, come sappiamo, che con uno determinato fra essi), nessun gruppo armonico potrà essere costituito da quattro elementi distinti.

Ovvero, in altri termini: I tre punti diagonali di un quadrangolo piano completo o sono sempre vertici di un triangolo, o sono sempre collineari.[21]

7. Dati sopra una retta tre punti A, B, C, tutti distinti, supponiamo (se pos­sibile) che il coniugato armonico di C rispetto alla coppia AB sia lo stesso punto C. Otteniamo allora una configurazione di 7 punti (A, B, C, E, F, G, H) e di 7 rette (la ABC e i sei lati del quadrangolo completo E F G H) per la quale sono verificati tutti i postulati relativi a1 piano. Due qualunque di quei i punti deter­minano una retta, la quale contiene ancora un terzo punto; due qualunque delle 7 rette hanno a comune un punto per cui passa sempre una terza retta (fra le sette). L'ipotesi D≡C non presenta dunque nulla di assurdo, di incompatibile coi postulati precedenti; essa non ci permette però di concludere l'esistenza di un quarto punto sulla retta, nè quella di un ottavo punto nel piano: dai postulati ammessi finora non segue cioè una tate esistenza. E la prova di questo si ha precisamente nel fatto che si è potuto costruire (o, dirò meglio immaginare) un ente per cui sono verificati tutti i postulati precedenti, ma nel quale tuttavia non esistono quegli elementi ulteriori.

Proiettando quel piano di 7 punti da un punto esterno ad esso[22] , si po­trebbe giungere a una configurazione di 15 punti, 15 piani e 35 rette , per la quale sarebbero verificate tutte le proprietà dell'S3. Per ogni punto passerebbero 7 rette e 7 piani; in ogni piano starebbero 7 rette e 7 punti; ogni retta con­terrebbe tre punti, e per essa passereb- bero tre piani; ecc ecc. Si potrebbe anzi immaginare, in generale, un Sr costituito da 3·2r-1+2r-2+…+22+2+1 os­sia 2r+1– 1 punti e contenente un egual numero di Sr-1; e nel quale per k+1 punti arbitrari ma indi- pendenti passerebbe sempre un Sk contenente altri punti determinati[23]  [24].

Noi ammetteremo invece questo nuovo postulato:

Esiste un gruppo armonico A B C D costituito da quattro elementi distinti.

L'ipotesi D≡C rimane dunque per sempre esclusa[25] . Che poi la nuova ipotesi sia anch'essa compatibile coi postulati precedenti, è manifesto, e risulterà d'altronde dalla stessa esposizione seguente.

8. Riprendiamo il nostro gruppo armonico ABCD col suo quadrangolo co­struttore EFGH. Sia O l'intersezione (ora distinta da C e D) dei lati EH e FG. Se conduco ancora le rette AO e BO a tagliare la prima BF e BE rispett. in M e in P, la seconda AE e AG rispett. in N e in Q, si dimostra facilmente, e in modo noto, che le rette NM e PQ si incontreranno nel punto C, le NP e MQ nel punto D. Ciò prova che I quattro gruppi CDAB, CDBA, DCAB, DCBA, sono anch'essi armonici; MNPQ è un loro comune quadrangolo costruttore. In tutto dunque i quattro punti danno luogo a otto gruppi armonici. La relazione fra le coppie AB e CD è reciproca. Gli elementi di una qualunque di esse si diranno coniugati armonici rispetto a quelli dell'altra.      

Si domandi ora il coniugato armonico di B rispetto alla coppia AD (quel punto X cioè per cui sia ADBX un gruppo armonico). Fissati i punti O e N al­lineati su B, conduco AO e DN a segarsi in P, AN e DO a segarsi in F. Il punto X richiesto sarà l'intersezione di PF colla ABCD. Esso non può certo coincidere nè con B, né con A o D. Non è invece escludibile (a priori almeno) che possa coin­cidere con C; che cioè la retta PF venga a cadere sulla PQC, epperò risulti armonico il gruppo ADBC. Anche qui si vede facilmente che, se una (sol) volta quel punto X coincide con C, un'analoga coincidenza dovrà aver luogo sempre; e, in­versamente, se una (sol) volta quei due punti non coincidono, non potranno mai coincidere. Supposto dunque (se possibile) che coinci- dano una volta e quindi sem­pre, sarà pur sempre armonico il gruppo ADBC, e, per conseguenza, saranno tali anche DABC, ADCB, ...BCAD, ... CBDA; in tutto cioè avremo altre olio quaderne armoniche. E non basta; perchè, in queste stesse ipotesi, saranno necessariamente armonici anche il gruppo ACDB[26] e gli altri sette che questo porta di conse­guenza; epperò, come conclusione ultima, troviamo che: I quattro punti A, B, C, D, considerati in un ordine qualunque, formano sempre un gruppo armonico[27] . Si vede subito inoltre che :

Si ha così una configurazione di 13 punti: 13 rette per cui sono verificati tutti i postulali relativi al piano. Su ogni retta stanno 4 punti, per ogni punto passano 4 rette;gli uni e le altre, considerati in un ordine qualsiasi, formano sempre un gruppo armonico.

Da questo piano di 13 punti si potrebbe poi dedurre per proiezione una con­figurazione di 13·3+1 ossia di 40 punti, per la quale sarebbero verificate tutte 1e proprietà dello spazio S3 [28]; e, più generalmente, se ne potrebbe avere una di 4·3r-1+3r-2+ ... +32+3+1 ossia di (3r+1-1)/2 punti, per la quale sarebbero verificate tutte le proprietà dello spazio Sr. Non è dunque assurda l'ipotesi che siano contemporaneamente armonici i due gruppi ABCD e ADBC. Essa non ci per­mette però di affermare che sulla retta esistano più di quattro punti, nè, in generale, che ve ne siano più di (3r+1-1)/2 in Sr. Dai postulati precedenti non segue dunque che questi limiti debbano essere superati; epperò, volendo che lo siano, dovremo necessariamente agli stessi postulati aggiunger- ne un altro. Noi sup­porremo precisamente che la retta PQC (v. sopra) non passi per il punto F, e che perciò il coniugato armonico di B ri- spetto alla coppia AD sia un nuovo punto K. In altri termini, am-metteremo il postulato seguente:

Esiste un gruppo armonico ABCD tale che non sia armonica la quaderna ADBC. E se ciò si verifica per un gruppo armonico, sappiamo che si verificherà necessariamente per ogni altro.                

Sopra ogni retta AB -sulla quale per il post. IV esiste sempre un terzo punto C- esisteranno dunque certo ancora un quarto punto D tale che sia armonica la quaderna ABCD, e un quinto punto K tale che sia armonica la ADBK[29] . Si può anzi vedere facilmente che, nelle stesse ipotesi, dovrà anche esistere un sesto punto L, coniugato armonico p. e. di A rispetto alla coppia DB, e che non potrà coincidere con alcuno dei precedenti. Ma su ciò non è qui a luogo di insistere; tanto più che vogliamo ora trattare una questione molto più generale, e che d'altron­de, al punto in cui siamo, ci si presenta spontaneamente. Ammessa infatti l'esistenza di almeno tre punti sopra ogni retta -e quindi la possibilità di costruire su questa un gruppo armonico-, noi abbiamo esaminato    il caso in cui già la prima costruzione di un tal gruppo non conduca a determinare sulla retta stessa alcun nuovo punto, e quello in cui la medesima costruzione faccia invece tro­vare un quarto punto, salvo poi, se ripetuta, ricondurre a uno dei primi. Ora noi vogliamo supporre che, succedendosi quelle costruzioni con una legge determi­nata, si venga a ritrovare, se possibile, uno dei punti precedenti dopo un certo numero (che lasceremo indeterminato) di operazioni (e non prima). Per far questo però ci occorre prender le mosse un po' più da lontano.

9. Dati in una forma fondamentale semplice tre elementi (distinti) qualunque chiamo sistema armonico l'insieme di tutti gli elementi (siano pur in numero finito od infinito) deducibili da essi con successive costruzioni di quarti armonici. Il si­stema armonico è pienamente individuato da quei primi tre elementi, che diremo suoi elementi fondamentali (Cfr. De Pao1is; op. cit. p. 5); ma che però (come si può dimostrare) non sono mai elementi particolari di esso.

Due sistemi armonici posti sopra forme distinte od anche coincidenti possono sempre riferirsi tra loro univocamente per modo che si corrispondano i rispettivi elementi fondamentali in un determinato ordine, e poi due elementi qualunque aventi una medesima legge di generazione: Una tal corrispondenza la chiameremo proiettività [30].

La proiettività è individuata dalla corrispondenza fra le due terne di elementi fondamentali. Se le due forme sostegni sono sovrapposte, e gli elementi fondamentali sono tutti tre uniti, la proiettività si riduce a un'identità.

Due gruppi di (uno stesso numero di) punti si diranno proiettivi quando sono costituiti rispett. da punti a due a due omologhi in sistemi armonici proiettivi. Ai sistemi armonici proiettivi così definiti sono applicabili tutte le note pro­posizioni di geometria proiettiva elle si riferiscono alla proiettività tra forme sem­plici fondamentali (fatta solo eccezione per quanto riguarda il verso o i punti uniti). In particolare:

Due gruppi di elementi (di sistemi armonici) ottenibili l'uno dall'altro me­diante un numero finito di proiezioni e sezioni sorto sempre proiettivi. L'inversa è pur vera, ossia: Due gruppi di elementi i quali siano proiettivi (siano cioè omologhi in sistemi armonici proiettivi) possono sempre ricavarsi l'uno dall'altro con un numero finito di operazioni proiettive.

Notiamo altresi la proposizione seguente, che ci sarà utile in seguito:

Se un gruppo ABCD di quattro elementi di una forma semplice fondamentale è proiettivo a ABDC, esso è necessariamente armonico [31].

Ne seguono ancora i principali teoremi relativi alle involuzioni (fra elementi di un sistema armonico). Fra le altre, ricordiamo che è involutoria ogni corri­spondenza proiettiva nella quale due elementi distinti si corrispondano in dop­pio modo.

Non possiamo tuttavia distinguere (per ora) le involuzioni in iperboliche ed ellittiche [32]. Un'involuzione potrà avere elementi doppi, ma sarà in tal caso un'in­voluzione particolare; o, per dir meglio, un'involuzione determinata mediante due coppie di clementi distinti non avrà o almeno non potremo asserire che abbia, nel caso più generale, elementi doppi[33] .

10. Sopra una retta abbiansi tre punti distinti O, A1, A2. Costruisco il pun­to A3, per cui sia armonico il gruppo OA2A1A3; poi A4 tale che sia armonico OA3A2A4, e così via; costruisco cioè successivamente altri elementi A3A4...Ak… tali che siano armonici tutti i gruppi del tipo OAkAk-1Ak+1. Chiameremo serie armonica il sistema di punti (O.A1A2A3...Ah…), e il punto O lo diremo origine della serie[34]. La serie stessa è manifesta- mente contenuta nel sistema armonico che ha per elementi fondamen- tali O, A1, A2.

É chiaro che nessuno dei successivi punti Ai potrà cadere in O. Ciascuno di essi è ottenuto infatti come quarto armonico dopo tre elementi distinti, uno dei quali è sempre lo stesso O. Non si può invece escludere (a priori almeno) la possibilità di giungere ad un punto An+1 il quale venga a coincidere con A1, o, per avere una maggior generalità, con uno qualsiasi Am dei punti precedenti (es­sendo 0<m<n). In tal caso però, considerando i sistemi armonici OAmAm+1, e OAmAn, si avrebbe tosto

OAmAm+1…Am+h…An Ù OAmAn…An-h+1… Am+1

e in particolare

OAmAm+1An Ù OAmAnAm+1.

Questi due gruppi sarebbero dunque armonici, e il punto An coinciderebbe con­ Am-1.

Ripetendo questo ragionamento un numero opportuno di volte, si conclude senz'altro che basta considerare il caso di m=1; il caso cioè in cui l'elemento

An+1, coincide precisamente col primo elemento (A1) della serie.

11. Supposto dunque An+1=A1, si avrà OA1A2AnÙOA1AnA2 e queste due quaderne saranno armoniche. L'elemento An+2 sarà perciò lo stesso A2; ed anzi An+3…A2nA2n+1 coincideranno rispett. con A3...AnAt.... La serie può supporsi prolungata indefinitamente, ma è, per cosi dire, periodica; essa rientra in sè stessa dopo n elementi.

I singoli punti A si trovano dunque tutti nelle medesime condizioni; ogni relazione fra due o più di essi continua a sussistere anche se si aumentano o si diminuiscono tutti gli indici di uno stesso numero (introducendovi o sopprimendovi anche ove occorra, un multiplo opportuno di n).

Dalla proiettività

OA1A2A3…Ak+1…An Ù OA1AnAn-k+1… A2

si deduce altresì che, qualunque sia il numero intero h, si avrà :

OA1AAk+1An-k+1 Ù OA1An-k+1Ak+1

epperò di nuovo questi due gruppi sono armonici; e in generale:

Sono armonici tutti i gruppi del tipo OAiAi+kAi+2k: (ovvero anche OAkAlAm, dove l+m=2k).  

Per conseguenza, se nella nostra serie noti saltiamo gli elementi a k-1 per volta, e consideriamo quindi la successione O.AiAi+kAi+2k…, avremo sempre una nuova serie armonica.

Due serie armoniche (OA1A2) e (O'A1'A2') sono sempre proiettive. Se dunque nella prima An+1 coincide con A1, nella seconda dovrà An+1 coincidere con A1', e inversamente; ossia:

Se una serie armonica qualsiasi rientra in sè stessa dopo un certo numero di elementi, in sè stessa dovrà pure rientrare ogni altra serie sìffatta , e dopo, lo stesso numero di elementi.

Sia ora O.A1A2A3… una serie armonica rientrante in sè stessa dopo n ele­menti. Sia inoltre n, se possibile, un numero non primo; e indichiamo con x un suo divisore (intero) diverso da esso e dall'unità. E' chiaro allora che la serie armonica O.A1An/x+1 A2n/x+1…A(x-1)n/x+1Axn/x+1, il cui ultimo elemento scritto sarebbe lo stesso A1, rientrerebbe in sè stessa dopo un numero x<n di elementi. Ciò essendo contrario all'ultima proposizione, concludiamo:

Se la serie armonica O.A1A2A3... rientra in sè stessa (soltanto) dopo n elementi­, dovrà essere necessariamente n un numero primo[35] .

12. Faremo ora cedere che, se n è un numero primo qualunque, si possono sempre pensare delle serie armoniche conformi alla data definizione, e rientranti in sé stesse dopo n elementi.

Considero infatti un insieme di n2+n+1 punti; di questi, n+1 li rappre­sento coi numeri 0, 1, 2, ... n, e i rimanenti n2 cogli stessi numeri 1, 2, …, n affetti da un indice, variabile pure da 1 a n; cogli elementi insomma della

ma­trice quadrata

Chiamo retta ciascuno dei seguenti n2+n+1 gruppi di n+1 punti:

a) la serie 0.1.2 ... n;

b) le n serie contenenti il punto 0:  0  

c) infine le seguenti n2 serie, uscenti a n a n rispett. dai punti 1,2,...,n (avvertendo di diminuire sempre, i singoli numeri ed indici -quando lo siano > n- del maggior multiplo intero di n in essi contenuto):

1                   2         

 

 

 

 

e in generale

k

 

e finalmente

n.

 

Abbiamo cosi un insieme di n2+n+1 punti e di altrettante rette; su ogni retta stanno n+1 punti, e per ogni punto passano n+1 rette.

Due punti qualunque individuano una retta che li contiene. Se uno (almeno) dei due punti sta sopra la retta 0.1.2…n, la cosa è evidente. Considereremo quindi senz'altro il caso di due punti yz e y'z', supponen- do anche y¹y' e z¹z' (se no i due punti individuerebbero una retta passante per il punto n o per il punto 0); e faremo vedere che sulla retta 0.1.2…n esiste sempre uno ed un solo punto (diverso da 0 e da n) allineato sui due punti dati. E infatti, perché un punto k sia colliineare con yz e y'z', si vede subito essere necessario e sufficiente che la differenza y'-y sia uguale alla z'-z moltiplicata per k a meno, s'intende, di un multiplo din;si tratta dunque di mostrare che esiste uno ed un solo numero k (sempre a meno di un multiplo di n), per cui sia soddisfatta la relazione

y'-y≡k(z'-z)….            (mod. n)

 

E questo ricordando che n é numero primo, segue subito da una nota proprietà delle congruenze.

Due rette qualunque hanno a comune un punto ed uno solo. Se una delle due rette passa per il punto 0, la cosa è evidente[36] . In ogni altro caso poi, considerale le due rette

k   ;         (k+i)1   ;     (2k+i)2   ;   .....   in

  k' ;       (k'+i')1   ;   (2k'+i')2  ;  ….. i'n

tutto si riduce a mostrare che esiste uno ed un solo numero x≤n tale che i due punti (xk+i)x e (xk'+i')x coincidano; che si abbia cioè

x(k'-k) ≡ i-i'  . . .   (mod. n)

E questo l'abbiamo veduto precisamente poc'anzi.

Per questo sistema di n2+n+1 punti e di altrettante rette sono dunque verificati tutti i postulati relativi al piano.

Possiamo anche verificare assai facilmente che i gruppi 0213, 0324, …, 0.kk-1.k+1, …, 0.n.n-1.1 sono tutti armonici; la serie 0.123...n sarà perciò armonica e rientrante in sè stessa dopo n elementi.

Una serie analoga si potrebbe anzi determinare sopra ciascuna delle n2+n+1 rette (e in ciascuno degli n2+n+1 fasci di raggi) scegliendone ad arbitrio l'ori­gine e due elementi consecutivi.

É dunque compatibile con tutti i postulati precedenti l'ipotesi che la serie armonica 0.A1A2A3... rientri in sè stessa dopo un numero finito qualunque di elementi, purchè primo[37].

Furono appunto le ipotesi particolari di n=2 e n=3 che ci condussero alla considerazione dei due piani rispett. di sette e di tredici punti. Anche per i casi successivi si potrebbe fare, e senza difficoltà, uno studio analogo, più o mena par­ticolareggiato. Per n=5 si avrebbero ad e. su ogni retta sei punti, ripartibili in cinque modi diversi in tre coppie a due a due armoniche. Gli altri dieci aggruppamenti analoghi corrisponderebbero ad altrettante terne di coppie in involuzione.

Dal piano di n2+n+1 ossia (n3-1)/(n-1) punti si potrebbe poi passare a un S3 con (n4-1)/(n-1) punti e altrettanti piani, e, in generale, a un Sr con (nr+1-1)/(n-1) punti e un egual numero di Sr-1,e con un numero pure finito e facilmente determina­bile di spazi Sk (0< k< r- 1) [38].

13. La serie dei numeri primi essendo infinita, è chiaro, per quanto si è detto, che, se noi desideriamo la nostra retta e il nostro piano siano di tal na­tura, che una serie armonica su di quella non rientri mai in sè stessa [39], saremo autorizzati ad ammettere questa proprietà come postulato. Assumeremo quindi il seguente

Post. V. Esiste una serie armonica non mai rientrante in sè stessa. O in altri termini:             

Esiste in una forma semplice fondamentale una serie di elementi O.A1A2...An... in cui tutti i gruppi dei tipo OAkAk-1Ak+1 sono armonici, e nessun elemento An può coincidere con uno dei precedenti [40].

Ciò che si è ammesso per una serie è poi manifestamente vero per ogni al­tra. La serie armonica è dunque infinita. Ogni forma semplice fondamentale contiene perciò infiniti elementi (e in particolare ogni retta infiniti punti), e infiniti sono pure gli elementi di ogni sistema armonico. Anzi, data sempre la stessa serie  armonica, noi possiamo cercare ancora l'elemento Ao per cui sia armonico il gruppo OA1A0A2, poi A-1, per cui sia armonico OA0A-1A1, e successivamente A-2, A-3 ecc. Nè mai un elemento aA-m,potrà coincidere  con un altro An, se no la serie ver­rebbe a rientrare in sé tessa dopo m+n elementi, il che é assurdo.

D'ora in poi, quando parleremo di una serie armonica, la intenderemo sem­pre, senz'altro, prolungata indefinitamente da ambo i lati. Essa sarà sempre in­dividuata dall'origine e da due suoi elementi consecutivi qualunque; e si può anzi dimostrare non esser nemmeno necessario che questi siano proprio consecutivi.

14. Supponiamo ora di ritornare ai principio del n° 4, e riprendervi le varie nostre considerazioni al punto in cui vi si trovavano. Ammettiamo però addirittura anche il post. IV, per quanto esso non sia subito necessario.

Se i punti della retta sono in numero finito, potremo sempre immaginarli disposti in un qualche ordine tale che, partendo da uno qualunque fra essi, si possa ritornare a questo stesso dopo aver percorsa tutta la serie dei punti me­desimi e senza essere passato mai due volte per alcuno di essi. Questo si può asserirlo (in tal caso) senz'alcun nuovo postulato. Ma se la retta contiene un nu­mero infinito di punti, la proprietà enunciata non è più per essa evidente; e per­ciò, intendendo attribuirgliela anche in quest'ultima ipotesi, la ammettere- mo come postulato. Quindi:

Post. Va. I punti di una retta si possono sempre pensare disposti in un ordine tale che, partendo da uno qualunque fra essi, si possa ritornare a questo stesso dopo aver percorsa tutta la serie dei punti della retta, e senza esser passato mai due volte per alcuno di tali punti.

Se vi è un ordinamento soddisfacente a questo postulato, ve ne sono certo degli altri, anzi infiniti altri (ammesso che la retta contenga infiniti punti), tutti quelli ad es. che si possono ottenere dai primo scambiando in esso comunque due o tre o più punti. Di questi ordinamenti non ci occorrerà però in seguito di considerarne che due soli (fra loro inversi); quindi l'opportunità, la necessità anzi di fissare questi due in modo speciale, di metterli cioè in evidenza rispetto agli altri. E questo lo otterremo enunciando, in un nuovo postulato, qualche loro pro­prietà distintiva; diremo anzi addirittura (la ragione ne apparirà poi più innanzi) che, dato lo scopo cui tendiamo, è opportuno attribuire quei due ordinamenti proprietà proiettive. Ammetteremo perciò il seguente

Post. VIa. Fra quei vari modi di ordinamento ve ne sono due partico­lari, l'uno inverso dell'altro, che chiameremo ordini naturali, e sono tati che, proiettando una retta su di un'altra, sempre un ordinamento naturale di quella si proietta in un ordinamento naturale di questa.

Il concetto di ordine naturale può subito estendersi a qualsiasi forma fonda­mentale semplice. In una tal forma ogni elemento potrà sempre passare dalla pro­pria posizione a quella di un altro qualunque seguendo l'uno ovvero l'altro dei due ordini naturali; e questo appunto potremo indicare dicendo ch'esso può muoversi (e descrivere tutta la forma) in due direzioni (o versi) fra loro opposti. Questo movimento in un determinato verso si riprodurrà sempre dopo un numero qualsiasi di operazioni proiettive. Basandoci poi sul solo concetto di verso (e senza nemmeno parlare di segmenti) potremo definire la separazione delle coppie di elementi in una forma semplice, e dimostrare altresì ch'essa è proprietà che non si altera per un insieme qualunque di proiezioni e sezioni. E quest'ultimo risulta­to, importantissimo, non si sarebbe certo potuto ottenere senza l'ipotesi di cui al post. VIa.

I postulati Va e VIa si verificano poi anche nel caso del piano di sette punti (cfr. ni 5-7); possiamo quindi, dopo aver definito il gruppo armonico, ammettere ancora il seguente

Post. VIIa. Esiste un gruppo armonico formato da quattro elementi distinti.

Da questo segue senz'altro che il coniugato armonico di un elemento qualsiasi rispetto ad altri due (distinti fra loro e da esso) è sempre un nuovo elemento­distinto da tutti e tre i primi. Se ne possono anche dedurre le poche cose esposte al principio del n° 8.

Ammesso quest'ultimo postulato (e non prima) si può dimostrare rigorosamente che due coppie armoniche devono necessariamente separarsi (poiché l'ipotesi contraria implicherebbe la possibilità in quattro punti di una retta di separarsi a due a due in due modi diversi). Questa proposizione serve poi, come ha mo­strato anche il sig. Amodeo (op. cit. 15, a far vedere che, costruendo su di una forma semplice fondamentale una serie armonica conforme alla data defini­zione, gli elementi di questa dovranno sempre succedersi in guisa tale ch'essa non abbia mai a rientrare in sè stessa[41].

15. Costruita sulla retta la serie armonica, si presenta naturale distendere su di essa la variabile numerica reale ed intera. Basta ad ogni punto A far corrispondere il numero (positivo, negativo o nullo) che ne è indice, e all'origine O il valor infinito della variabile.

Si tratterebbe ora di distendere sulla retta stessa, in modo analogo, la va­riabile numerica, non più intera, ma semplicemente razionale. Per questo possiamo seguire una via non molto, anzi quasi punto diversa da duella del sig. Amodeo, ma tale tuttavia da permetterci di andare innanzi in modo più conforme a quanto abbiamo fatto sinora. Questa via è, in sostanza, quella tenuta dal sig. De Paolis[42] , il quale (al pari del sig. Amodeo) comincia col trattare la questione, d'altronde semplicis- sima, dell'inserzione dei medi in una serie armonica (divisione dei seg­menti principali in segmenti armonici rispetto all'origine), mostrando in seguito come ad un numero razionale qualunque si possa sempre far corrispondere sulla retta un punto unico e ben individuato[43]. Definita quindi la scala armonica [44], egli dimostra ancora (n° 31) che:

Ogni elemento di una scala armonica si può ottenere inserendo un numero finito conveniente di medi fra due elementi principali consecutivi.

 Da ciò si deduce subito che a ogni elemento della scala armonica si può far corrispondere un determinato numero razionale[45] .

E questo sarà sempre unico, ossia, in altri termini, i punti corrispondenti a due dati numeri razionali distinti μ/m e ν/n non potranno mai coincidere. Essi sono infatti elementi di una stessa serie armonica, ottenuta dalla primitiva (da quella cioè degli elementi principali) inserendo tra due termini consecutivi qua­lunque mn-1 medi (al più).

Dati dunque sopra una retta tre punti distinti, se ne possono costruire, con opportune operazioni, infiniti altri formanti una scala armonica, l'insieme di tutti questi punti si potrà mettere in corrispondenza (bi)univoca col sistema dei numeri reati e razionali, facendo anche corrispondere ai primi tre fra essi, in un determinato ordine, i valori 0, 1, ∞ della variabile.

Dimostrato infine, sempre col De Pao1is (34, 36), che:

Gli elementi di una scala armonica non sono altro che quelli di un sistema armonico; resterà del pari stabilito che:

L' insieme degli elementi di un sistema armonico in una forma semplice fondamentale può sempre riferirsi univocamente alla serie dei numeri razio­nali[46] .

16. I punti di cui, in forza dei postulati precedenti, abbiamo ora dedotto l'esistenza sulla retta sono quelli che comunemente si chiamano punti razionali.

Ad essi sono applicabili il concetto di birapporto, il sistema delle coordinate proiettive (anche omogenee), ecc. Si può poi passare, come mostra p. e. il Pasch, (op. cit. § 22), alla costruzione dei punti razionali nel piano e nello spazio S3, e in seguito, con una facile generalizzazione dello stesso procedimento, in uno spazio qualunque Sr. In tutti questi spazi introdurremo così, nello stesso tempo, anche il sistema delle coordinate proiettive. Si può allora dimostrare che, entro l’Sr, Sr-1 (di punti razionali) è rappresentato da un'equazione di primo grado fra le coordinate proiettive di un punto variabile, e viceversa ogni tal equazione rappresenta un Sr-1.   

Dai postulati ammessi finora segue dunque l'esistenza di infiniti punti sulla retta[47], nel piano e, in generale, in Sr. Questi punti noi abbiamo imparato a costruirli e a rappresentarli con coordinate, tali anche che risulti lineare l'equa­zione di ogni Sr-1 in Sr, e inversamente. Per l'insieme dei punti così ottenuti sono inoltre verificati tutti i postulati precedenti; epperò da questi, non segue né può seguire l'esistenza di altri punti sulla retta, nel piano o negli spazi superiori. Se dunque di questi altri punti noi vogliamo che ne esistano effettiva mente, le cose dette ci autorizzano ad introdurre un nuovo postulato ad essi relativo [48].

E questo postulato può essere benissimo, l'(r+5)simo del Sig. Amodeo[49]. I punti di cui risulta così stabilità l'esistenza formano un insieme riferibile uni­vocamente al sistema di tutti i numeri reali (per la retta, o dei gruppi di r numeri reali qualunque se siamo in Sr).

Le questioni relative a questi punti irrazionali furono trattate diffusamente dal Sig. Amodeo (n° 22 e seg.), sicchè ritengo ormai inutile di trattenermici sopra più a lungo [50].

17. Voglio piuttosto osservare che, se anche i punti razionali (gli elementi cioè della scala armonica) esaurissero la retta, si potrebbero egualmente introdurre i punti irrazionali mediante una definizione, la quale estendesse opportunamente il concetto di punto; si potrebbe cioè convenire di chiamar punti anche dei nuovi enti (ad es. delle serie di punti razionali soddisfacenti a determinate condizio­ni[51]); salvo poi mostrare che per questi nuovi punti così definiti (e che sareb­bero precisamente gli irrazionali) sussistono tutte le proprietà di cui già era noto che godevano i punti primitivi[52] . Questa definizione servirebbe in tal caso a completare la retta; a far sì cioè, che si possa egualmente distendere su di essa la variabile numerica reale.

La definizione si può usare anche nell'ipotesi che la retta, oltre ai punti della scala armonica, ne contenga degli altri. Volendo però che a questi altri corrispondano appunto numeri irrazionali, bisognerà scegliere la detta definizione in modo ch’essa dia precisamente quei punti che effettivamente esistono (più, occor­rendo, degli altri fittizi, che servano anche qui a completare la retta).

Dopo i punti irrazionali si potrebbero introdurre quelli immaginari, ossia (per meglio esprimerci) i punti complessi (ordinari).Avver- tiamo tuttavia che, introdotti questi, alcuni dei postulati precedenti (Va e VIa) cesserebbero di valere; e perciò appunto conviene ricorrere, per quell'introduzione, ad una definizione anziché a un nuovo postulato[53] . Una definizione molto opportuna la si ricava dalla conside­razione delle involuzioni ellittiche (ora, naturalmente, si può fare una distinzione fra queste e le iperboliche); ma anche su ciò non occorre insistere, perchè i ri­sultati già ottenuti a questo proposito (per lo spazio ordinario) da vari Autori -ed essenzialmente dal Sig. V. Staudt (Beiträge zur Geometrie der Lage; Nürberg,1856-60) e dal Prof. C. Segre (Le coppie di elementi immaginari nella geometria sintetica; Mem. Acc. di Torino; serie 2a; vol. XXXVIII)- si estendono subito al nostro caso generale.

18. Non sarà forse inutile riassumere infine i risultati principali ottenuti in questa Nota, sotto la forma seguente:

Definiamo come varietà lineare a r dimensioni (∞r) una varietà di enti qualunque, che diremo punti, per la quale siano soddisfatte le condizioni seguenti:        

Entro di essa esistano delle varietà, che diremo rette, tali che per due punti qualunque ne passi sempre una ed una sola;

La varietà stessa possa considerarsi come luogo di tutti i punti di tutte le rette che congiungono un suo punto ai singoli punti di una varietà lineare a r-1 dimensioni [54](*). Per varietà lineare a una dimensione intendiamo la retta;

Ogni varietà lineare a due dimensioni contenuta nella primitiva ∞r contenga a sua volta tutta la retta individuata da due suoi punti qualunque, e sia tate che in essa due rette abbiano sempre un punto a comune;                                  

Ogni retta contenga più di due punti, e inoltre:

a) sopra una retta esista una serie armonica (v. n° 10 e seg.) non mai rientrante in sè stessa; -oppure:              

b) per l'insieme dei punti della retta esistano degli ordinamenti soddis­facenti alle condizioni richieste nei postulati Va e VIa; e, di più, sopra una retta esista un gruppo armonico costituita da quattro elementi distinti;

Nella varietà stessa esistano, o si siano introdotti con una definizione opportuna, i punti irrazionali; quegli elementi ulteriori cioè, la cui consi­dezazioni, come abbiano veduto, è necessario e sufficiente a stabilire una corri­spondenza univoca fra i punti della varietà e l' insieme dei gruppi di r nu­meri reali. Quest'ultima non è però una vera e propria condizione, potendo noi sempre renderla soddisfatta, quando siano tali le precedenti.

Per una varietà così fatta sussistono tutte le proprietà e valgono tutti i ri­sultati ottenuti finora per lo spazio Sr.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                       

                    Colognola ai Colli (Verona), agosto 1891.

*



[1] E abbracciando quindi tutti i diversi modi, riducibili a tre principali (Cfr.  C.  Segre: Su alcuni indirizzi nelle investigazioni geometriche; Rivi- sta di Matema­tica; vol. I; p. 59), sotto cui questi spazi superiori od iperspazi si sono presentati ai geometri.

 

[2] Fanno eccezione solamente i lavori del Prof. G. Veronese (Behandlung der projectivischen Verhaeltinisse...; Math. Ann. XIX, e La superficie omaloide normale a due dimensioni del quarto ordine dello spazio a cinque dimensioni, e le sue proiezioni nel piano e nello spazio ordinario; Mem. Ace. dei Lincei, 1883-84) nei qua!; si accenna a una definizione sintetica degli iperspazi, senza però fermarsi molto a svilupparla. Della Nota recente del Sig. F. Amodeo: Quali possono essere i postulati fondamentali della Geometria proiettiva di uno ST (Atti della R. Acc. delle Scienze di Torino; vol. XXVI) avremo a parlare in seguito. Durante la stampa di questa Nota è poi uscito un altro lavoro (importante, quanto voluminoso) dello stesso Prof. Veronese (Fondamenti di geometria a più dimen­sioni e a più specie di unità rettilinee; Padova, 1891) nel quale le stesse questioni appena accennate nei lavori precedenti sono invece assai ampiamente sviluppate. Non sarà difficile però il riconoscere che l'ordine di idee alquanto diverso da quello a cui noi intendiamo qui attenerci.

[3] Nella R. Università degli Studi di Torino.

[4] È chiaro che, risolta una tale questione, se ne dedurrebbe tosto come caso particolare quali potrebbero essere i postulati fondamentali della geometria dello spazio ordinario, In questo caso speciale la questione fu già trattata, in modi diversi, dal prof. R De Paolis (Sui fondamenti della geometria proiettiva; Mem. della R. Acc. dei Lincei; serie 3°; vol. IX; 1880-81) e dal Pasch (Vorlesungen über neuere Geometrie; Leipzig, 1882); e se ne trova pure un cenno nelle recenti Vorlesungen über Geometrie dei Sigg. Clebsch-Lindemann (Leipzig, 1891). I postulati del Pasch (quelli almeno relativi alla geometria di posizione) furono anche trasformati in simboli di logica dal prof. G. Peano nei suoi Principi di geometria logicamente esposti (Torino, Bocca, 1889).  In  quest'opuscolo  l'A.  parte  dalle  idee  intuitive  (o sup­poste tali) di punto e di segmento rettilineo, e definisce poi successivamente la retta illimitata, il piano, ecc. enunciando le proprietà fondamentali di tutti questi enti con 16 postulati (oltre a un 17° sulla continuità della retta) dei quali però cinque (1, 2, 7, 12, 15) si riferiscono solo all'esistenza di punii, e l'ultimo dice in sostanza che lo spazio ordinario, la varietà cioè dei punti che si suppongono esistere, è a tre dimen­sioni. Per questo caso speciale la questione può dunque effettivamente ritenersi insolita. Noi però, come già si è detto, vogliamo trattarla più in generale, e non faremo neanche uso del concetto di segmento.

[5] Mi sembra anzi opportuno avvertire fin d'ora che, volendo esser sicuri del­l'indipendenza dei nostri postulati, dovremo anche dimostrarne (man mano che li enun­ciamo) la necessità.

Avevo appena ultimata questa ricerca, o, dirò meglio, quella parte di essa che più mi interessava, quando nello scorso aprile venni a sapere che lo stesso argo­mento era stato oggetto di stadio per parte del Chiar.mo Dott. F. Amodeo. Tenuto conto di ciò e, in pari tempo, della impossibilità in cui mi trovavo di pubblicare subito i risultati ottenuti, finii coll'attendere che fosse uscito il lavoro dello stesso Sig. Amodeo (ora comparso nel vol. XXVI degli Atti dell'Acc. di Torino), riser­vandomi di far conoscere in seguito quei punti almeno che da noi fossero stati stu­diati e svolti in modo diverso.      

La prima parte della ricerca, quella che dal Sig. Amodeo è esposta nel § 1 (generazione degli spazi), si presentava, fra tutte, come la più facile ed ovvia, e non avrebbe quindi potuto dar campo a notevoli divergenze. Risparmiando pertanto al lettore una ripetizione di cose ormai note, mi limito ad esporne quanto è stretta­mente necessario. Nella seconda parte invece (v. op. cit. n° 13 e seg.) i nostri due lavori presen­tano delle differenze più sensibili; in essa quindi io avrò a diffondermi maggiormente, tanto più che mi si presentarono anche talune configurazioni dì punti (non incon­trate invece dal Sig. Amodeo), all'esposizione delle cui proprietà, o poco più, è ormai ridotto lo scopo precipuo di questa Nota.

     

[6] In questo sono già compresi i postulati 1° e 3° del Sig. Amodeo, e così pura quelli dal 5° all’(r + 2)simo inclusi. L'Egr. A. riconosce infatti egli pure (pag. 5) che r dei suoi postulati (questi, precisamente) sono identici nella forma, e si potrebbero, vo­lendo, ridurre ad un solo; io li ho precisamente così ridotti. Quanto ai rimanenti, l'A. stesso osserva, e giustamente, ch'essi sono sostanzialmente diversi da quegli r. Io prefe­risco addirittura riservare ad essi il nome di postulali. Sono questi infatti che, come ve­dremo, ci daranno le proprietà prime degli enti o punti della nostra varietà; quelle pro­prietà che (opportunamente scelte) dorremo ammettere, per caratterizzare gli enti stessi­ e poterne poi dedurre nuova proprietà di questi È perciò appunto che io vorrei ri­servare il nome di postulati a quei soli enunciati che si riferiscono a proprietà di enti  (o almeno dicono: «Esiste un oggetto soddisfacente alle tali condizioni ...»).

Entra la varietà proposta noi potremo quindi generare senz'altro i successivi spazi; r sarà per noi un numero tale che dentro di quella si possa costruire un Sr.

 

[7] E così pure ci serviremo in seguito, senza farne ogni volta speciale avvertenza, di tutte le altre espressioni usuali che l'analogia ha consigliato di introdurre anche nel linguaggio della geometria in una varietà lineare qualunque.

 

[8] Avvertiamo anzi che questi due postulati potrebbero limitarsi alle forme seguenti:

Il piano determinato da un punto A e da une retta BC (non passante per questo punto) contiene tulle le rette che congiungono i punti (determinati) B e C rispett. a ciascuno di quelli delle rette AC e AB.

Due rette le quali congiungano í punti B e C rispett. con un punto qualsiasi di AC e AB hanno sempre un punto a comune.

Il primo di questi enunciati non sarebbe tuttavia sufficiente, da solo almeno, a stabilire la verità dell'asserzione contenuta nel post. II; esso basta però per con­cludere che, dati i tre punti A, B, C, ò unico il piano che si ottiene proiettando da uno qualunque di essi la congiungente degli altri due. Se questo piano lo indichiamo con ABC, l'ultimo postulato può mettersi anche sotto quest'altra forma: Nel piano ABC due rette uscenti rispett. da due qualunque dei punti A, B, C, si incontrano sempre. Non occorre poi certo avvertire che questo postulato non restringe le nostre considerazioni ad alcuna ipotesi particolare sulla questione delle parallele. Basterà fare poi opportune convenzioni per ciascuna dì queste ipotesi (anzi, solo per due fra le tre possibili).

Gli stessi due postulati (limitati come sopra), quando alle parole di retta e piano si sostituissero rispett. quelle di segmento rettilineo e triangolo (nel senso ordinario)  coinciderebbero rispett.             cogli assiomi XIII e XIV del Sig. Peano (op. cit.; p..18 e 21). I risultati generali che seguono da essi non sono però applicabili a questo caso particolare, non godendo l'ordinario segmento rettilineo della proprietà di essere in­dividuato indifferentemente da due qualunque dei suoi punti.

 

[9] Il Sig. Amodeo si incontrò con me nella definizione del piano, ma ammise poi questo solo postulato: Il piano è individuato da 3 suoi punti, limitato alla forma:

«Dati i tre Punti a0 · a1, a2 e costruito il piano ao· a1a2, ogni altro piano a0·bc che contenga i punti a1, a2 coincide con esso».

Questo postulato però, per quanto unico nel suo enunciato, si riduce facilmente ai due da me esposti. Esso può scindersi infatti in due parti distinte, delle quali la prima sarebbe: Ogni piano        a0·bc che contenga i punti a1, a2 contiene tutta la retta a1 a2 ; e questo equivale appunto a dire che un piano contiene sempre tutta la retta individuata da due suoi punti. Da ciò segue senz'altro che ogni punto di ao·a1a2, sta in a0·bc , ma non. l'inversa. La seconda parte sarebbe poi: Il piano ao·bc coin­cide con a0·ala2; ma, per quanto si è detto, possiamo ora limitarla alla forma: Se il piano ao·bc  contiene i punti a1, a2 (non allineati su a0) ogni suo punto è punto di ao· a1a2  (ossia ogni sua retta uscente da a0 taglia la retta a1a2). Questa seconda parte può essere verificata anche senza la prima; preceduta da essa, equivale al po-stulato sull'incidenza di due rette (III); in caso contrario però questa equivalenza non ha più luogo.

Come ai vede dunque, io preferisco (per quanta mi è possibile) separare sempre l'uno dall'altro í singoli postulati distinti, e cercar poi di stabilire cosa da ciascuno di essi si possa. dedurre. Data la distinzione di cui nella nota (6) p. 109, mi sembra non possa dirsi che ciò é in contradizione coll'aver prima riuniti tutti quegli r po­stulati distinti per il Sig. Amodeo.

 

[10] Anzi questa proposizione si poteva ammettere a sua volta come postulato in luogo del post. III. 

[11] Il concetto cui si informano queste definizioni è manifestamente quello di ge­neralizzarla il noto, procedimento con cui possiamo generare il piano partendo dalla retta e lo spazio a tre dimensioni partendo dal piano. Esso comparve dapprima nei lavori di Grassmann (Ausdehnungslehre; 1814) e di Riemann (Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen; 1854); e fu poi svolto più ampiamente dal Veronese (lav. cit. dei Math. Ann. XIX, e Fondamenti ecc.).

      

[12] Supporremo cioè che entro la varietà di punti propostaci (n° 1) si possa co­struire almeno un S3.

 

[13] È qui ch' io comincio ad allontanarmi dalla via seguita dal Sig. Amodeo, pur tendendo allo stesso suo scopo, a distendere cioè sulla retta la variabile numerica.

 

[14] Così pure si vede subito che un piano ne contiene almeno tre, e, in generale, un Sr, almeno r+1.

 

[15] Metto questo (e i successivi) sotto forma di postulati, esprimendo essi effet­tivamente proprietà dell'ente retta. Avvertiamo poi che la proprietà presente (a dif­ferenza di altre che troveremo in seguito) potrebbe benissimo sussistere per una sola retta, ovvero anche per tutte quelle e quelle sole di un certo piano, o S3, ecc. Non  basterebbe quindi ammettere p. e., che «Esiste una retta contenente più di due punti».

 

[16] E più di due saranno anche, in generate, gli Sk passanti per un  dato Sk-1 e contenuti in un dato Sk+1, (supposto, naturalmente, che questo ultimo spazio contenga 1'Sk-1 stesso).

 

[17] Che per noi però non hanno grande importanza.

[18] Va da sè che anche qui io mi baso sull'analogia, la quale mi dispensa dal dare espressamente, come dovrei, tutte le definizioni accennate, e dall'enunciare anche solo i vari teoremi citati.

 

[19] È evidente che questo concetto (importantissimo) di gruppo armonico non si  sarebbe potuto introdurre senza aver premesso il post. IV.

 

[20] Ciò è subito provato nei casi di k=1 e k=2 colle solite dimostrazioni usate in geometria proiettiva. E queste si estendono immediatamente al caso di k qualunque.

 

[21] E analogamente per la tre diagonali di un quadrilatero, ecc. Avvertiamo poi che le poche cose dette finora sui gruppi armonici possono valere tanto nell’una quanto nell’altra ipotesi.

[22] Conducendo cioè le rette che congiungono quest'ultimo punto a ciascuno dei primi sette.

[23] Si vede anche facilmente che le rette (e gli Sr-2) di quell' Sr, sarebbero in numero di (2r+1-1)(2r-1); i piani e gli Sr-3 sarebbero

(2r+1-1)(2r-1)(2r-1-1);

e in generale il numero degli Sk (e degli Sr-k-1) sarebbe

.

 

[24] Le configurazioni cui ora siamo giunti -e così pure le altre che troveremo in seguito e 1e loro generalizzazioni per r qualunque- potrebbero forse ammettere delle rappresentazioni sensibili, le quali, offrirebbero allora utile applicazione a uno studio ulteriore di esse. Di questo studio non intendo occuparmi, per ora almeno; ma non lo ritengo certo del tutto privo di interesse.

 

[25] Epperò il quarto armonico dopo tre elementi distinti sarà sempre un nuovo elemento distinto dai primi tre.

[26] Perchè ACDB è ottenuto da ADBC come questo da ABCD. Ciò' risulta del resto anche dalla costruzione.

 

[27] Supposto che il punto F stia sulla retta PQC, se ne deduce subito (per ra­gioni di simmetria, o anche dall'armonicità di queste ultime quaderne) che i punti E, G, H stanno rispettivamente sulle rette MQD, NMC, NPD.

 

[28] Essa conterrebbe p. e. 40 piani (di 13 punti ciascuno) e 134 rette; per ogni punto passerebbero 13 rette e 13 piani; per ogni retta 4 piani, ecc. Ogni fascio (di raggi o piani) sarebbe composto di 4 elementi formanti in tutti i modi pos­sibili un gruppo armonico.

 

[29] L'esistenza di questi due punti sulla retta segue, per essi, rispett. Dai due ultimi postulati; l'esistenza però sulla retta rispett. di un quarto, e di un quinto punto (ammessa senz'altro) non potrebbe sosti- tuire i postulati stessi.

 

[30] Questa considerazione della proiettività fra sistemi armonici (anzichè addirittura tra due forme geometriche) basta, per il momento almeno, allo scopo che ci siamo preposti, e permetta poi nel tempo stesso (e questo ne è il vantaggio) di trarre subit­o l'importante conclusione di cui al capoverso seguente.

 

[31] La relazione ABCDÙABCD non ha per noi alcun significato se i punti A,B,C,D non sono contenuti in un certo sistema armonico. Di questo posso scegliere tuttavia come fondamentali tre elementi qualunque, p. e. gli stessi A,B,C. Scrivendo dunque ABCDÙABDC, io posso sempre intendere questo: I punti D e C appartengono rispett. ai sistemi armonici ABC e ABD , e hanno in questi una medesima legge di, generazione. (E sarà anzi solo in quest'ipotesi, apparentemente particolare, che avremo da applicare la proposizione enunciata di sopra).

Presentato il teorema sotto questo punto di vista, possiamo dimostrarlo col solito. e semplicissimo procedimento usato in geometria proiettiva.  

[32] Si fa astrazione, naturalmente, dal caso particolarissimo della involuzioni  paraboliche. Questa non possono anzi nemmeno presentarsi, se ci limitiamo a considerare gruppi armonici costituiti da elementi distinti.   

[33] Le definizioni e le considerazioni esposte in questo n° 9 si sarebbero potute far precedere, volendo, alle cose contenute nel n° 8 e anche nello stesso n° 7. Nei due casi particolari ivi contemplati un sistema armonico si comporrebbe di soli quattro elementi, oppure si ridurrebbe ai soli elementi fondamentali. Delle proposizioni enunciate alcune diverrebbero addirittura evidenti, altre perderebbero ogni significato (p. e., nel caso dei n° 7, tutte quelle in cui occorre considerare almeno quattro elementi distinti di una forma semplice); nessuna però diventerebbe assurda.  

[34] Anche questa denominazione di serie armonica (come quella di sistema armonico) è presa dal De Pao1is. Mi è parso opportuno di conservarle entrambe, per quanto io qui le adoperi in un caso (se non in un senso) più generale.

 

[35] Appunto per questo non potrebbe p. e. l'elemento A3 coincidere con A1; se  no, dall'armonicità dei gruppi OA2A1A3, OA3A2A4, OA4A3A1 seguendo quella di OA3A1A1, si cadrebbe in un assurdo. Questo era appunto il caso di quel punto L considerato alla fine del n° 8.

 

[36] È pure evidente se una delle due passa per il punto n, ma a questo caso è anche applicabile la dimostrazione generale che segua. E qualcosa di analogo si poteva dire anche nella questione precedente.

[37] E che questo numero sia primo é condizione non solo sufficiente, ma anche necessaria (v. n° 11).

 

[38] Sono queste appunto le generalizzazioni cui già accennammo nella nota a p.15.

 

[39] Che cioè le indicate costruzioni di gruppi armonici conducano ivi sempre alla determinazione di nuovi elementi.

 

[40] Questo postulato non solo dunque non è conseguenza delle cose precedenti, ma non è nemmeno (per così dire) ulteriormente riducibile (non può cioè limitarsi ad una forma meno comprensiva). Esistono infatti sempre dei numeri primi superiori a un dato limite finito qualsiasi. Questo stesso postulato non ha poi bisogno di essere preceduto dai due dati rispett. ai numeri 7 e 8; ma anzi, in certo qual modo, comprende in sè questi ultimi. Essi dicono infatti, in sostanza, che la serie armonica non può rientrare in sè stessa ri­spett. dopo due o dopo tre elementi. Perciò appunto lo diamo coma V. Occorre in­vece premettergli, ed esplicitamente, il post. IV, necessario (cfr. la nota 19) all'introduzione del concetto di gruppo armonico, e quindi di serie armonica.

 

[41] Questa seconda via che (dal n° 4 in poi) potevamo seguire è notevolmente più breve della prima, e per questo appunto abbiamo voluto farne un cenno. È chiaro però che la maggior brevità si è raggiunta solo coll'introduzione di qualche concetto non assolutamente necessario (gli ordinamenti cioè di cui al post. Va, e in parti­colare gli ordini naturali e il verso); o anzi, dirò meglio, coll'enunciare dei postulati che complessivamente contenevano non solo quanto, per lo scopo propostoci, era necessario di ammettere, ma anche qualcosa di relativamente superfluo (superfluo cioè  in relazione a quello scopo).

Questa seconda via è, press'a poco, quella tenuta anche dal sig. Amodeo (13-15). Fra i nostri punti di partenza non vi era del resto che una differenza unica, limitata ­al solo postulato della retta, e fors'anche meno essenziale di quanto a prima vista  potesse sembrare; il sig. Amodeo aveva ammesso cioè subito che la retta dovesse contenere infiniti punti, mentre noi non avevamo fatto, su questo, alcuna ipotesi particolare. E così facendo, noi venivamo anzi ad accordare alla nostra ricerca (o almeno alla prima parte di essa) una maggiror generalità. Solo dall'ultimo postulato e dalla successiva costruzione della serie armonica è scaturito implicitamente che i punti della retta non potevano più supporsi in  numero finito. I nostri postulati Va VIa sostituiscono insieme l'(r+3)simo del sig. Amodeo, il quale rimane così un modificato. Quell'espressione: <<I punti della retta sono disposti in modo…  sembra infatti piuttosto vaga e indeterminata. Questa disposizione cui l’A. accenna ha importanza solo in quanto egli stesso intende che ogni punto possa dalla sua posizione passare a quella di un altro qualsiasi, assumendo come posizioni intermedie successive quelle di un certo numero (finito od infinito) di altri punti, e nell'ordine stesso di quella disposizione. Si vede dunque che l'A. pensa al movimento, ma questo è un concetto che non si può introdurre che mediante postulati. Ad esso appunto si riferiscono i nostri due Va e VIa, i quali bastano allo scopo. Ed è bene notare la grande importanza di questo secondo postulato (VIa) anche in confronto al primo. È quello solamente che ci ha permesso di stabilire con tutta esattezza e rigore il con­cetto di movimento (di un punto sulla retta, o di un elemento in una forma semplice qualsiasi) in un determinato verso, e di mostrare che la separazione delle coppie di elementi gode di proprietà proiettive: il Va non sarebbe stato sufficiente.

Il   nostro postulato VIIa non figura poi affatto nel lavoro del sig. Amodeo. Certo però che nella dimostrazione che vi è data della separazione delle coppie ar­moniche si fa uso, implicitamente almeno, dell'asserzione contenuta in esso. E che questa sia ivi una conseguenza necessaria delle cose precedenti (compresovi natural­mente l’essere i punti di una retta in numero infinito) non mi sembra certo evidente.

 

 

[42] Salvo alcune modificazioni, provenienti essenzialmente dal fatto che il sig.­ De Paolis si riferisce solo allo spazio ordinario (di punti a tre dimensioni), mentre noi vogliamo stare in un ordine di idee più generale.

 

[43] Ciò risulta evidente non appena si sia dimostrato che l'inserzione o. divisione di cui sopra non può farsi che in un modo solo. E questo è provato effettivamente dal De Paolis (n° 19); ma il suo procedimento non è applicabile al nostro caso che nell’ipotesi di aver già prima mostrato (20, 21) che i punti di divisione appartengono al sistema armonico individuato dall'origine e dagli estremi. Questa dimostrazione si può del resto premettere all'altra; ma la stessa costruzione data al n° 20, quando vi si modifichi lievemente la forma del ragionamento (dicendo p. e. Se c'è una soluzione, il primo punto di divisione deve potersi ottenere...), può bastare a stabilire l'unicità della soluzione.

               

[44] Consideriamo una serie armonica ...A-2A-1AoA1A2… Ar di origine A. Dividendo i segmenti determinati da due elementi della serie in segmenti armonici rispetto ad A, abbiamo infiniti altri elementi della forma, i quali fra loro e coi primi danno infiniti altri segmenti che possono ancora dividersi in segmenti ar­monici, sempre rispetto ad A, costruendo ancora nuovi elementi della forma... Da queste operazioni, che possono essere indefinitamente proseguite, scaturiscono infiniti elementi il cui complesso diremo scala armonica (De Paolis, op. cit 29).

 

[45] E precisamente il numero k+h/i, se l'elemento stesso si può ottenere come hsimo di i-1 medi inserti fra Ak e Ak+1.

 

[46] Da quanto precede risulta manifesta la possibilità di distendere sulla retta la variabile numerica razionale senza ricorrere al concetto di segmento introdotto invece dal sig. Amodeo subito dopo il suo postulato (r +3)simo. Non avendovi ricorso, è chiaro che non si poteva più enunciare (a meno di non modificarlo alquanto) il successivo post. (r+4)simo, nè quindi parlare (nel senso almeno che da questo deri­vava) di punti che si avvicinano indefinitamente ad un punto fisso. Noi però abbiamo potuto raggiunge- re il nostro scopo senza alcun nuovo postulato. Potrebbe ciò sembrar strano; ma, dato il genere della questione che andiamo trattando, è chiaro che a noi basta sapere che sulla retta quei tali punti ci sono; non occorre invece cercare (dirò così) dove siano. E anche del concetto di  distanza abbiamo potuto fare a meno. II motivo principale però per cui mi sono attenuto al procedimento del Sig. De Pao1is piuttosto che a quello del Sig. Amodeo è stato il desiderio di evitare possibilmente la questione che il secondo di essi si propone (e precisamente al n° 21) se si possa cioè anche ad ogni punto della retta far corrispondere un determinato numero (indice). È appunto così che il Sig. Amodeo viene ad imbattersi nella questione dei punti irrazionali, questione che invece, a nostro avviso, come vedremo anche al n° seg., converrebbe tenere ben distinta dalla precedente.

 

[47] Gli infiniti punti di una retta (o elementi di una forma semplice qualsiasi) sono precisamente (per ora) quelli di un sistema armonico. Questi potrebbero anzi essere i soli; e allora la proiettività fra due sistemi armonici si ridurrebbe a una proiettività fra due forme;  a una corrispondenza univoca cioè fra queste, caratteriz­zata (ora possiamo dirlo) dal fatto che sempre a gruppi armonici corrispondono gruppi armonici. In quest'ipotesi è anche vero senz’altro il teorema fondamen- tale della geometria proiettiva: Se due forme fondamentali semplici sovrapposte sono proiettive e hanno tre elementi uniti, saranno uniti anche tutti gli altri elementi (la proiettività si ridurrà cioè a un'identità).

 

[48] È appunto per questo che (coma già avvertimmo nella nota a p. 34) ci è parso preferibile di separare nettamente la questione dei punti razionali da quella degli irrazionali. Senza una tal separazione sarebbe certo difficile (se pur ancora possibile) il provare la necessità di un nuovo postulato.

 

[49] «Ad ogni numero irrazionale corrisponde sempre sulla retta un punto determinato ed unico».

 

[50] Aggiungo soltanto che esse pure non richiedono si sia premesso quel postulato (r+4)simo,  di cui già ebbi a tenere parola; e che anche dei concetti di segmento e di distanza non vi è sostanzialmente fatto uso.

 

[51] Questa definizione corrisponderebbe, coma si vede subito, a quella cha generalmente si dà dei numeri irrazionali mediante quelli razionali.

 

[52] Bisognerebbe quindi definire la retta determinata da un punto razionale e da uno irrazionale, oppure da due punti irrazionali; in modo che sempre per due  unti qualunque passi una retta ed una sola, ecc. ecc.

 

[53] Dei post. Va e VIa potremo poi restringere la validità all'insieme dei soli punti reali della retta.

 

[54] Questa, si potrà poi definire in modo analogo mediante la varietà lineare ∞r-2, ecc.